Квантовая механика для чайников. что такое квант, уравнение шредингера, принцип неопределенности гейзенберга

Принцип неопределенности Гейзенберга

В обыденной жизни нас окружают материальные объекты, размеры которых сопоставимы с нами: машины, дома, песчинки и т. д. Наши интуитивные представления об устройстве мира формируются в результате повседневного наблюдения за поведением таких объектов.

Поскольку все мы имеем за плечами прожитую жизнь, накопленный за ее годы опыт подсказывает нам, что раз всё наблюдаемое нами раз за разом ведет себя определенным образом, значит и во всей Вселенной, во всех масштабах материальные объекты должны вести себя аналогичным образом.

И когда выясняется, что где-то что-то не подчиняется привычным правилам и противоречит нашим интуитивным понятиям о мире, нас это не просто удивляет, а шокирует.

Но нужно помнить, что наша интуиция основана на опыте поведения обычных предметов соизмеримых с нами масштабов, а квантовая механика описывает вещи, которые происходят на микроскопическом и невидимом для нас уровне, — ни один человек никогда напрямую с ними не сталкивался. Если забыть об этом, мы неизбежно придем в состояние полного замешательства и недоумения.

Для себя я сформулировал следующий подход к квантово-механическим эффектам: как только «внутренний голос» начинает твердить «такого не может быть!», нужно спросить себя: «А почему бы и нет? Откуда мне знать, как всё на самом деле устроено внутри атома? Разве я сам туда заглядывал?» Настроив себя подобным образом, вам будет проще воспринять статьи этой книги, посвященные квантовой механике.

Принцип Гейзенберга вообще играет в квантовой механике ключевую роль хотя бы потому, что достаточно наглядно объясняет, как и почему микромир отличается от знакомого нам материального мира. Чтобы понять этот принцип, задумайтесь для начала о том, что значит «измерить» какую бы то ни было величину.

Чтобы отыскать, например, эту книгу, вы, войдя в комнату, окидываете ее взглядом, пока он не остановится на ней.

На языке физики это означает, что вы провели визуальное измерение (нашли взглядом книгу) и получили результат — зафиксировали ее пространственные координаты (определили местоположение книги в комнате).

На самом деле процесс измерения происходит гораздо сложнее: источник света (Солнце или лампа, например) испускает лучи, которые, пройдя некий путь в пространстве, взаимодействуют с книгой, отражаются от ее поверхности, после чего часть из них доходит до ваших глаз, проходя через хрусталик, фокусируется, попадает на сетчатку — и вы видите образ книги и определяете ее положение в пространстве. Ключ к измерению здесь — взаимодействие между светом и книгой. Так и при любом измерении, представьте себе, инструмент измерения (в данном случае, это свет) вступает во взаимодействие с объектом измерения (в данном случае, это книга).

В классической физике, построенной на ньютоновских принципах и применимой к объектам нашего обычного мира, мы привыкли игнорировать тот факт, что инструмент измерения, вступая во взаимодействие с объектом измерения, воздействует на него и изменяет его свойства, включая, собственно, измеряемые величины.

Включая свет в комнате, чтобы найти книгу, вы даже не задумываетесь о том, что под воздействием возникшего давления световых лучей книга может сдвинуться со своего места, и вы узнаете ее искаженные под влиянием включенного вами света пространственные координаты.

Мне по-прежнему нужен измерительный инструмент, который вступит во взаимодействие с электроном и возвратит моим детекторам сигнал с информацией о его местопребывании. И тут же возникает сложность: иных инструментов взаимодействия с электроном для определения его положения в пространстве, кроме других элементарных частиц, у меня нет.

И, если предположение о том, что свет, вступая во взаимодействие с книгой, на ее пространственных координатах не сказывается, относительно взаимодействия измеряемого электрона с другим электроном или фотонами такого сказать нельзя.

В начале 1920-х годов, когда произошел бурный всплеск творческой мысли, приведший к созданию квантовой механики, эту проблему первым осознал молодой немецкий физик-теоретик Вернер Гейзенберг.

В результате им был сформулирован принцип неопределенности, названный теперь его именем:

неопределенность значения координаты x неопределенность скорости > h/m,

математическое выражение которого называется соотношением неопределенностей Гейзенберга:

Δx х Δv > h/m

где Δx — неопределенность (погрешность измерения) пространственной координаты микрочастицы, Δv — неопределенность скорости частицы, m — масса частицы, а h — постоянная Планка, названная так в честь немецкого физика Макса Планка, еще одного из основоположников квантовой механики. Постоянная Планка равняется примерно 6,626 x 10–34 Дж·с, то есть содержит 33 нуля до первой значимой цифры после запятой.

Термин «неопределенность пространственной координаты» как раз и означает, что мы не знаем точного местоположения частицы. Например, если вы используете глобальную систему рекогносцировки GPS, чтобы определить местоположение этой книги, система вычислит их с точностью до 2-3 метров.

(GPS, Global Positioning System — навигационная система, в которой задействованы 24 искусственных спутника Земли.

Если у вас, например, на автомобиле установлен приемник GPS, то, принимая сигналы от этих спутников и сопоставляя время их задержки, система определяет ваши географические координаты на Земле с точностью до угловой секунды.

) Однако, с точки зрения измерения, проведенного инструментом GPS, книга может с некоторой вероятностью находиться где угодно в пределах указанных системой нескольких квадратных метров. В таком случае мы и говорим о неопределенности пространственных координат объекта (в данном примере, книги).

Ситуацию можно улучшить, если взять вместо GPS рулетку — в этом случае мы сможем утверждать, что книга находится, например, в 4 м 11 см от одной стены и в 1м 44 см от другой.

И тут мы подходим к самому принципиальному отличию микромира от нашего повседневного физического мира. В обычном мире, измеряя положение и скорость тела в пространстве, мы на него практически не воздействуем. Таким образом, в идеале мы можем одновременно измерить и скорость, и координаты объекта абсолютно точно (иными словами, с нулевой неопределенностью).

В мире квантовых явлений, однако, любое измерение воздействует на систему. Сам факт проведения нами измерения, например, местоположения частицы, приводит к изменению ее скорости, причем непредсказуемому (и наоборот). Вот почему в правой части соотношения Гейзенберга стоит не нулевая, а положительная величина.

Чем меньше неопределенность в отношении одной переменной (например, Δx), тем более неопределенной становится другая переменная (Δv), поскольку произведение двух погрешностей в левой части соотношения не может быть меньше константы в правой его части.

На самом деле, если нам удастся с нулевой погрешностью (абсолютно точно) определить одну из измеряемых величин, неопределенность другой величины будет равняться бесконечности, и о ней мы не будем знать вообще ничего.

Иными словами, если бы нам удалось абсолютно точно установить координаты квантовой частицы, о ее скорости мы не имели бы ни малейшего представления; если бы нам удалось точно зафиксировать скорость частицы, мы бы понятия не имели, где она находится.

На практике, конечно, физикам-экспериментаторам всегда приходится искать какой-то компромисс между двумя этими крайностями и подбирать методы измерения, позволяющие с разумной погрешностью судить и о скорости, и о пространственном положении частиц.

На самом деле, принцип неопределенности связывает не только пространственные координаты и скорость — на этом примере он просто проявляется нагляднее всего; в равной мере неопределенность связывает и другие пары взаимно увязанных характеристик микрочастиц.

То есть, если мы проводим измерение состояния квантовой системы на предмет определения ее энергии, это измерение займет некоторый отрезок времени — назовем его Δt. За этот промежуток времени энергия системы случайным образом меняется — происходят ее флуктуация, — и выявить ее мы не можем.

Обозначим погрешность измерения энергии ΔЕ. Путем рассуждений, аналогичных вышеприведенным, мы придем к аналогичному соотношению для ΔЕ и неопределенности времени, которым квантовая частица этой энергией обладала:

ΔЕΔt > h

Относительно принципа неопределенности нужно сделать еще два важных замечания:

он не подразумевает, что какую-либо одну из двух характеристик частицы — пространственное местоположение или скорость — нельзя измерить сколь угодно точно;

принцип неопределенности действует объективно и не зависит от присутствия разумного субъекта, проводящего измерения.

Иногда вам могут встретиться утверждения, будто принцип неопределенности подразумевает, что у квантовых частиц отсутствуют определенные пространственные координаты и скорости, или что эти величины абсолютно непознаваемы.

Не верьте: как мы только что видели, принцип неопределенности не мешает нам с любой желаемой точностью измерить каждую из этих величин. Он утверждает лишь, что мы не в состоянии достоверно узнать и то, и другое одновременно. И, как и во многом другом, мы вынуждены идти на компромисс.

Опять же, писатели-антропософы из числа сторонников концепции «Новой эры» иногда утверждают, что, якобы, поскольку измерения подразумевают присутствие разумного наблюдателя, то, значит, на некоем фундаментальном уровне человеческое сознание связано с Вселенским разумом, и именно эта связь обусловливает принцип неопределенности. Повторим по этому поводу еще раз: ключевым в соотношении Гейзенберга является взаимодействие между частицей-объектом измерения и инструментом измерения, влияющим на его результаты. А тот факт, что при этом присутствует разумный наблюдатель в лице ученого, отношения к делу не имеет; инструмент измерения в любом случае влияет на его результаты, присутствует при этом разумное существо или нет.

См. также:

Источник: https://elementy.ru/trefil/21096/Printsip_neopredelennosti_Geyzenberga

Уравнение Шредингера в квантовой механики

Состояние частицы задается двумя величинами: координатами (радиус-вектором) и импульсом. В рамках квантовой механики ставить вопрос о точном местоположении, траектории частицы не корректно. Для квантовой частицы координаты и импульс могут быть неопределёнными. Поэтому ее состояние задается двумя вероятностными функциями:

Первая характеризует неопределённые координаты частицы, вторая — неопределённые импульсы. Вместо двух указанных функций W и V в квантовой механике вводится одна, комплексная функция, называемая волновой функцией. (Комплексная функция равносильна двум функциям, т.к.

состоит из двух частей: действительной и мнимой.) Достоинством такого метода является в первую очередь то, что действительная и мнимая части волновой функции являются функциями не различных переменных (х и), а переменных одного pода: либо только координат, либо только импульсов.

Это означает на квантовом языке, что функция.не зависит от времени.

Уравнение Шредингера

Уравнение же связанной частицы, на которую действуют силы, удобнее получить в координатном представлении. Нужно сказать, что в квантовой механике, строго говоря, нельзя ввести понятие силы, как нельзя ввести понятие скорости.

И это ясно, если вспомнить, что по определению сила есть производная от импульса частицы по времени. Импульс же квантовой частицы является неопределённым, и его невозможно продифференцировать по времени.

Поэтому взаимодействие частиц в квантовой механике характеризуют не силой, а потенциальной энергией.

Движение связанной частицы массы m будет задаваться уравнением следующего вида:

где– оператор Лапласа, x.y.z. – координаты,— постоянная Планка, деленная на 2.

Это уравнение называется временным уравнением Шредингера.

Еслине зависит от времени, то решение уравнения Шредингера можно представить как:

где E-полная энергия квантовой системы, аудовлетворяет стационарному уравнению Шредингера:

Уравнение Шредингера является основным уравнением движения частицы в квантовой механике. Оно не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого подтверждается тем, что все следствия из него вытекающие, подтверждаются опытами.

Решение уравнения Шредингера

С математической точки зрения — это дифференциальное уравнение в частных производных. Уравнение в частных производных имеет множество решений. В каждой конкретной задаче из этого множества следует выбрать одно решение, отвечающее условиям задачи.

С физической точки зрения нужно отметить, что согласно уравнению Шредингера волновая функция изменяется детерминировано, то есть совершенно однозначно.

В этом смысле квантовая механика напоминает классическую, в которой движение системы заранее предопределено начальными условиями. Однако сама волновая функция имеет вероятностный смысл.

Наконец, необходимо отметить еще одну очень важную особенность уравнения Шредингера: оно линейно. Волновая функция и ее производные входят в него в первой степени и для волновых функций справедлив принцип суперпозиции.

Он в квантовой механике играет очень важную роль, так как позволяет сложные движения раскладывать на более простые движения. Например, движение свободной частицы выражается отнюдь не только волнами де-Бройля. Возможны более сложные выражения для результирующих волновых функций той же свободной частицы.

Вместе с тем согласно принципу суперпозиции любое сложное движение свободной частицы можно представить как сумму волн де-Бройля.

Тогда как с точки зрения математики уравнение Шредингера – это волновое уравнение, по структуре подобно уравнению колебания струны. Однако, решения уравнения Шредингерапрямого физического смысла не имеют.

Физический смысл имеет модуль произведения,

w — определяется как плотность вероятности нахождения частицы в точке пространства,

где-комплексно сопряженная функция с.

где W – вероятность нахождения частицы в объеме V.

Из вероятностного смысла волновой функции следует, что квантовая механика имеет статистический характер. С помощью волновой функции, которая является решением уравнения Шредингера нельзя точно описать траекторию движения квантовой частицы, можно лишь сказать какова вероятность обнаружить эту частицу в разных областях пространства.

Примеры решения задач

Источник: http://ru.solverbook.com/spravochnik/uravneniya-po-fizike/uravnenie-shredingera/

Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Два пути развития квантовой механики. Видеоурок. Физика 11 Класс

На уроке рассматриваются следующие вопросы: неприемлемость понятий и законов классической механики для описания объектов микромира; влияние способов измерения на значения параметров микрообъектов; соотношения неопределенностей значений канонически сопряженных физических величин, характеризующих микрообъект; волновая функция микрообъекта и принципы определения собственных значений физических параметров частиц в квантовой механике.

В 1925 году де Бройль выдвинул теорию о том, что все микроэлементы обладают корпускулярно-волновым дуализмом.  Уравнение де Бройля связывает длину волны и импульс объекта микромира.

Гейзенберг задумался, что если рассмотреть классический случай, то любая частица имеет определенную массу, координату, импульс. Но если частица имеет определенный импульс, то она описывается в виде волны, а волна не имеет локализации. И возникает вопрос: какие законы применять в данном случае? Это был первый путь развития квантовой механики. См. Рис. 1.

 Рис. 1

С точки зрения квантовой механики не понятно, что такое траектория движения. В механике: траектория – множество точек, в которых оказалось тело в тот или иной момент времени.

Пусть имеется фотон, который падает на поверхность, частично отражается и частично проходит через поверхность. Но фотон не может разделиться, тогда он либо отражается, либо проходит через поверхность. А сказать точно, что случится с фотоном, когда он достигнет этой отражающей поверхности, нельзя. См. Рис. 2.

Рис. 2

Пусть имеется электрон, который двигается с каким-то импульсом. Для того чтобы найти положение электрона в пространстве и измерить его импульс, необходимо послать один фотон, чтобы он провзаимодействовал с электроном и, отраженный от него, нес с собой информацию об электроне.

Вследствие дифракции света невозможно применять законы прямолинейного распространения в случае, если предметы имеют размеры порядка длины волны света. Поэтому неопределенность определения координаты заведомо примерно равна длине волны фотона.

После взаимодействия с фотоном импульс электрона меняется.

В 1925 году Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности Гейзенберга: см. Рис. 3

Рис. 3

Это соотношение относится ко всем канонически сопряженным величинам.

К каноническим величинам относятся: см. Рис. 4

Рис. 4

Гейзенберг доказал, что неопределенность координаты, умноженная на неопределенность проекции импульса по соответствующей координате, не может быть меньше квантовой постоянной Планка. Такое же соотношение неопределенности справедливо и для неопределенности энергии и неопределенности времени.

Принцип неопределенности Гейзенберга – это основное уравнение квантовой механики.

Ответвление механики, которое организовал Гейзенберг, – матричная механика.

Применим соотношение Гейзенберга к атому водорода (Рис. 5).

Рис. 5

r – радиус атома

p – импульс электрона

ро – импульс, при котором энергия будет иметь минимальное значение

Е – энергия электрона в атоме

Этим было доказано, что электрон никогда не может упасть на ядро.

Из соотношения неопределенности Гейзенберга для атома водорода, что: см. Рис. 6

Рис. 6

Е1 – энергия электрона на первом уровне в атоме водорода

В 1926 году начался второй путь квантовой механики с волновой механики, которую начал развивать Шредингер.

Каждому объекту микромира сопоставляется определенная длина волны. Шредингер сказал, что если объект имеет длину волны, то он должен описываться волновой функцией. См. Рис. 7.

Рис. 7

А – амплитуда

V – скорость колебания

Е – энергия

Данное уравнение справедливо только для незаряженной частицы.

Шредингер доказал, что для любой заряженной частицы волновая функция должна иметь комплексный вид.

Данная функция позволяет определить вероятность нахождения частицы в той или иной области пространства.

Основное уравнение волновой механики (при фиксированном t): см. Рис. 8

Рис. 8

В волновой механике вводятся операторы физических величин, которые, будучи примененными к пси–функции, позволяют вычислить все собственные значения, интересующие нас о частицах микромира (координату, импульс, энергию и т. д.).  

Таким образом квантовая механика развивалась двумя путями, а потом Гейзенберг доказал, что и матричная квантовая механика, и волновая квантовая механика приходят к совершенно одинаковым результатам по всем вопросам и отличаются только математическим аппаратом.  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Международная Федерация Шейпинга (Источник).
2. Kse-303.narod.ru (Источник).

Источник: https://interneturok.ru/lesson/physics/11-klass/atomnaja-fizika/sootnoshenie-neopredelennostey-geyzenberga-dva-puti-razvitiya-kvantovoy-mehaniki

Квантовая механика

квантовая механика, квантовая механика для начинающих
Перейти к: навигация, поиск Туннельный эффект — квантовая механика показывает, что электроны могут преодолеть потенциальный барьер, что подтверждается результатами экспериментов.
Классическая механика, наоборот, предсказывает, что это невозможно.

Ква́нтовая меха́ника — раздел теоретической физики, описывающий физические явления, в которых действие сравнимо по величине с постоянной Планка. Предсказания квантовой механики могут существенно отличаться от предсказаний классической механики.

Поскольку постоянная Планка является чрезвычайно малой величиной по сравнению с действием макроскопических объектов, квантовые эффекты в основном проявляются в микроскопических масштабах. Если физическое действие системы намного больше постоянной Планка, квантовая механика органически переходит в классическую механику.

В свою очередь, квантовая механика является нерелятивистским приближением (то есть приближением малых энергий по сравнению с энергией покоя массивных частиц системы) квантовой теории поля.

Классическая механика, хорошо описывающая системы макроскопических масштабов, не способна описать все явления на уровне молекул, атомов, электронов и фотонов.

Квантовая механика также способна описывать поведение электронов, фотонов, а также других элементарных частиц, однако более точное релятивистски инвариантное описание превращений элементарных частиц строится в рамках квантовой теории поля. Эксперименты подтверждают результаты, полученные с помощью квантовой механики.

Основными понятиями квантовой кинематики являются понятия наблюдаемой и состояния.

Основные уравнения квантовой динамики — уравнение Шрёдингера, уравнение фон Неймана, уравнение Линдблада, уравнение Гейзенберга и уравнение Паули.

Уравнения квантовой механики тесно связаны со многими разделами математики, среди которых: теория операторов, теория вероятностей, функциональный анализ, операторные алгебры, теория групп.

Содержание

• 1 История
• 2 Математические основания квантовой механики
  • 2.1 Шрёдингеровское описание
  • 2.2 Стационарное уравнение Шрёдингера
• 3 Принцип неопределённости Гейзенберга
  • 3.1 Неопределенность между координатой и импульсом
  • 3.2 Неопределенность между энергией и временем
• 4 Необычные явления, мысленные эксперименты и парадоксы квантовой механики
• 5 Разделы квантовой механики
• 6 Интерпретации квантовой механики

Источник: https://www.turkaramamotoru.com/ru/-39109.html

Принцип неопределённости Гейзенберга



Краткий обзор История Принцип неопределённости и эффект наблюдателя Микроскоп Гейзенберга Критика Щель в экране Коробка Эйнштейна Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена Критика Поппера Принцип неопределённости информационной энтропии Производные Физическая интерпретация Матричная механика Волновая механика Симплектическая геометрия Соотношение Робертсона — Шрёдингера Другие принципы неопределённости Энергия-время в принципе неопределённости Теоремы неопределённости в гармоническом анализе Теорема Бенедика Принцип неопределённости Харди Бесконечная вложенность материи Выражение конечного доступного количества информации Фишера Научный юмор Принцип неопределённости в популярной культуре Ссылки Литература Внешние ссылки

.

Если коробка установлена на весах, то измерения сразу должны показать неточность принципа неопределённости.

и Хиршман [12] предположили, что для всех квантовых состояний:

геометрия

1. б в W. Heisenberg (1930), Physikalische Prinzipien der Quantentheorie (: Hirzel). English translation The Physical Principles of Quantum Theory (Chicago: University of Chicago Press, 1930).
2. Einstein, The Life and Times, ISBN 0-380-44123-3.
3. Isaacson, “Einstein”, p 452.

4. = Bell's Theorem: The naive view of an experimentalist // Springer. — 2002.
5. б G. Folland, A. Sitaram, The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey, Journal of Fourier Analysis and Applications, 1997 pp 207–238, Theorem 1.1).
6. K.K., Zorin A.B. Theory of Bloch-Wave Oscillations in Small Josephson Junctions.

   J. Low Temp. Phys., 1985, Vol. 59, Issue ¾, P. 347–382, doi=10.1007/BF00683782

7. , P.W. (1964), “Special Effects in Superconductivity”, in Caianiello, E.R., Lectures on the Many-Body Problem, Vol. 2, : Academic Press.
8. , Gerald; H. Dehmelt (1985), “Observation of Inhibited Spontaneous Emission”, Physical Review Letters, Vol. 55, P.

   67–70, doi:10.1103/PhysRevLett.55.67.

9. , Izv. Akad. Nauk SSSR (ser. Fiz.), 1945, Volume 9, Pages 122–128. English translation: J. Phys. () 9, 249-254 (1945).
10. , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104.
11. . arXiv: astro-ph / 0604076 v1, .

12. , Time Magazine, .
• Обобщения соотношений неопределенностей в квантовой механике. Труды ФИАН СССР. 1987. Том 183 стр.5-70.

png.htm

Источник: http://sergf.ru/png.htm

Квантовая теория Гейзенберга



Определение 1

Вернер Карл Гейзенберг — известный немецкий физик-теоретик, один из основателей квантовой механики, лауреат Нобелевской премии по физике и член ряда научных обществ мира.

Рисунок 1. Вернер Карл Гейзенберг. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Гейзенберг родился в 1901 году в Вюрцбурге. Его отец – выдающийся исследователь византийской истории. В юности Вернер был новым скаутом и изучал основы физики в немецком городе Мюнхене под руководством А. Зоммерфельда.

Ученый завершил учебу в университете очень быстро – за три года, и уже в 1924 году защитил диссертацию по теме «О стабильности потоков жидкости». Затем физик-теоретик в течение трех лет был ассистентом Макса Борна в Геттингене. Также работал с Нильсом Бором в Копенгагене.

В последующие годы самостоятельно основал квантовую механику, основываясь на научные труды своих коллег.

Старая квантовая теория в работах Гейзенберга

В атомной физике начало 1920-х годов было временем, которое в науке называется «старой квантовой теории», базирующейся на гипотезах Нильса Бора, что получили дальнейшее развитие в работах Зоммерфельда и других исследователей. Гейзенберг долго работал над принципами теории квантовой теории.

В 1922 года ученые представил всему научному миру свою первую статью, которая посвящалась феноменологической модели закономерностей Зеемана.

Этот труд, в котором предлагалась своеобразная модель ядерного остова, взаимосвязанного с валентными электронами, и где применялись полуцелые квантовые показатели, сразу же сделала молодого физика одним из лидеров в науке.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

В последующих работах на основе принципа полного соответствия были представлены вопросы интенсивности и ширины спектральных линий:

• общие проблемы теории многоэлектронных атомов, действующих в пределах классической теории возмущений;
• гипотезы молекул и иерархия внутримолекулярных движений, которые различаются своей энергией;
• иная модификация квантовых взаимодействий, заключавшаяся в приписывании всем существующим состояниям атома полуцелых значений квантовых параметров углового момента, была запущена в систему из рассмотрения аномального эффекта Зеемана.

Совместная работа с Хендриком Крамерсом содержала трактовку теории общей дисперсии, которая обобщила недавние результаты учений Борна и самого Крамерса.

В итоге исследователи получили квантово-теоретические аналоги дисперсионных уравнений для поляризованного атома в стационарном состоянии с учетом вероятности переходов на более низкие или же высокие показатели.

Эта статья, которую мир увидел в начале 1925 года, стала самым важным предшественником первой правильной формулировки квантовой механики.

Создание и внедрение матричной механики

Гейзенберг не был полностью удовлетворён состоянием физических теорий, требовавших решения только конкретной задачи в пределах классической физики с последующим описанием на квантовом языке посредством принципа соответствия.

Такой метод не всегда давал ожидаемый результат и зависел во многом от интуиции самого исследователя.

Стремясь получить логически согласованный и строгий формализм, осенью 1925 года Гейзенберг отказался от прежней формулировки, заменив ее детализированным описанием через видимые величины.

Замечание 1

Совет

Ученый смог представить общественности эти величины в виде уникальных наборов комплексных чисел и объяснить правило их перемножения, которое в результате стало не коммутативным.

Затем физик применил разработанный метод в задаче, которая касалась ангармонического осциллятора. При этом для данного случая следовало естественным образом существование так называемого «нулевого энергетического потенциала». Таким образом, принцип соответствия стал основным в математической схеме.

Гейзенберг получил окончательное решение этой задачи летом 1925 года на небольшом острове Гельголанд, где он проходил курс лечения от приступа сенной лихорадки. Вернувшись на родину, ученый описал итоги своих размышлений в статье «О квантово-теоретическом истолковании механических и кинематических взаимодействий» и отослал ее Вольфгангу Паули.

Следом, после официального одобрения коллеги, Гейзенберг передал научный труд Борну для опубликования в тематическом издании Zeitschrift für Physik. Вскоре ученые поняли, что наборы чисел, которые представляли собой определенные физические величины, являются матрицами перемножения — так было сформировано правило умножения матриц.

В общем, матричную механику ожидал крайне пассивный прием сообщества, которое было не знакомо с математическим формализмом матриц, а абстрактность теории отпугивала своей неоднозначностью. Первая строгая трактовка матричной механики была предоставлена Паскуалем Йорданом в работе «О принципах квантовой механике».

После этого Гейзенберг подключился к этим экспериментам, результатом которых стала известная «работа трёх», завершенная осенью 1925 года.

В ней был прописан общий способ решения задач в пределах матричной механики, в частности исследованы системы с произвольным количеством степеней свободы и введены канонические трансформации.

Последующие модификации матричной теории проходили по двум основным направлениям:

• обобщение концепций в форме основных операторов;
• представление гипотезы исключительно в алгебраической форме (в пределах гамильтонова формализма).

Все труды ученых вскоре стали в своем роде стимуляторами для появления матричной механики и дальнейшего становления атомной физики.

Принцип неопределенности Гейзенберга

Рисунок 2. Принцип неопределенности Гейзенберга. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В первой четверти XX столетия квантовая теория совершала свои первые уверенные шаги, а ученые всего мира только осознавали, что же возможно получить из ее положений, и какие она предоставляет перспективы.

Немецкий физик Вернер Гейзенберг сформулировал свои самые главные принципы в 1927 году.

Обратите внимание

Его гипотезы и предположения заключаются в том, что просчитать одновременно скорость квантового объекта и пространственное положение просто невозможно.

Замечание 2

Основной причиной этому можно назвать тот факт, что при таком измерении элементы начинают воздействовать на измеряемую систему, тем самым нарушая ее. Если в макромире оценивается в первую очередь объект, то в квантовой физике – отражение света от него.

Но закон неопределенности Гейзенберга свидетельствует о том, что хоть в макромире свет никак не воздействует на измеряемый предмет, а в случае с квантовыми частицами фотоны оказывают значимое влияние на физическое тело.

При этом необходимо отметить, что отдельно скорость или положение любого вещества в пространстве квантовая теория измерить может. Но чем более точными будут показания скорости, тем меньше возможно будет узнать о пространственном положении. И наоборот.

То есть этот принцип Гейзенберга формирует некие сложности в предвидение дальнейшего поведения квантовых частиц.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/kvantovaya_teoriya_geyzenberga/

Принцип неопределённости Гейзенберга



Принцип неопределенности Гейзенберга — в квантовой физике так называют закон, который устанавливает ограничение на точность (почти)одновременного измерения переменных состояния, например положения и импульса частицы. Кроме того, он точно определяет меру неопределенности, давая нижний (ненулевой) предел для произведения дисперсий измерений.

Рассмотрим, например, серию следующих экспериментов: путем применения оператора, частица приводится в определенное чистое состояние, после чего выполняются два последовательных измерения. Первое определяет положение частицы, а второе, сразу после этого, её импульс.

Предположим также, что процесс измерения (применения оператора) таков, что в каждом испытании первое измерение даёт то же самое значение, или по крайней мере набор значений с очень маленькой дисперсией dp около значения p.

Важно

Тогда второе измерение даст распределение значений, дисперсия которого dq будет обратно пропорциональна dp.

В терминах квантовой механики, процедура применения оператора привела частицу в смешанное состояние с определенной координатой. Любое измерение импульса частицы обязательно приведет к дисперсии значений при повторных измерениях. Кроме того, если после измерения импульса мы измерим координату, то тоже получим дисперсию значений.

В более общем смысле, соотношение неопределенности возникает между любыми переменными состояния, определяемыми некомутирующими операторами. Это – один из краеугольных камней квантовой механики, который был открыт Вернером Гейзенбергом в 1927 г.

Краткий обзор

Принцип неопределенности в квантовой механике иногда объясняется таким образом, что измерение координаты обязательно влияет на импульс частицы. По-видимому, сам Гейзенберг предложил это объяснение, по крайней мере первоначально.

То, что влияние измерения на импульс несущественно, может быть показано следующим образом: рассмотрим ансамбль (невзаимодействующих) частиц приготовленных в одном и том же самом состоянии; для каждой частицы в ансамбле мы измеряем либо импульс либо координату, но не обе величины.

В результате измерения мы получим, что значения распределены с некоторой вероятностью и для дисперсий dp и dq верно отношение неопределенности.

Отношения неопределенности Гейзенберга — это теоретический предел точности любых измерений. Они справедливы для так называемых идеальных измерений, иногда называемых измерениями фон Неймана. Они тем более справедливы для неидеальных измерений или измерений Ландау.

Соответственно, любая частица (в общем смысле, например несущая дискретный электрический заряд) не может быть описана одновременно как «классическая точечная частица» и как волна.

(Сам факт того, что какое-либо из этих описаний может быть справедливо, по крайней мере в отдельных случаях, называют корпускулярно-волновым дуализмом).

Принцип неопределенности, в виде, первоначально предложенном Гейзенбергом, верен в случае, когда ни одно из этих двух описаний не является полностью и исключительно подходящим, например частица в коробке с определенным значением энергии; то есть для систем, которые не характеризуются ни каким-либо определенным «положением» (какое-либо определенное значение расстояния от потенциальной стенки), ни каким-либо определенным значением импульса (включая его направление).

Существует точная, количественная аналогия между отношениями неопределенности Гейзенберга и свойствами волн или сигналов. Рассмотрим переменный во времени сигнал, например звуковую волну. Бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени.

Совет

Для точного определения частоты необходимо наблюдать за сигналом в течение некоторого времени, таким образом теряя точность определения времени. Другими словами, звук не может иметь и точного значения времени, как например короткий импульс, и точного значения частоты, как например в непрерывном чистом тоне.

Временно́е положение и частота волны во времени походят на координату и импульс частицы в пространстве.

Определение

Если приготовлены несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определенному распределению вероятности — это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину стандартного отклонения Δx координаты и стандартного отклонения Δp импульса, мы найдем что:

Delta x Delta p ge frac{hbar}{2},

где «hbar» является постоянной Планка (h) поделенной на 2π. (В некоторых рассмотрениях «неопределенность» переменной определяется как наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что, в случае нормального распредения переменных, приводит для произведения неопределенностей к большей нижней границе h/2π.

) Отметьте, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть определен точно, в то время как x — нет.

Во всех же других состояниях, и x и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.

В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем неопределенность потому, что значение h чрезвычайно мало.

Другие характеристики

Было развито множество дополнительных характеристик, включая описанные ниже:

Выражение конечного доступного количества информации Фишера

Принцип неопределенности альтернативно выводится как выражение неравенства Крамера-Рао в классической теории измерений. В случае когда измеряется положение частицы. Средне-квадратичный импульс частицы входит в неравенство как информация Фишера. См. также полная физическая информация.

Обобщенный принцип неопределенности

Принцип неопределенности не относится только к координате и импульсу. В своей общей форме, он применим к каждой паре сопряженных переменных.

В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсужденного выше, нижняя граница произведения неопределенностей двух сопряженных переменных зависит от состояния системы.

Принцип неопределенности становится тогда теоремой в теории операторов, которую мы здесь приведем

Теорема. Для любых самосопряженных операторов: A:H → H и B:H → H, и любого элемента x из H такого, что A B x и B A x оба определены (т.е., в частности, A x и B x также определены), имеем:

langle BAx|x
angle langle x|BAx
angle = langle ABx|x
angle langle x|ABx
angle = left|langle Bx|Ax
angle
ight|^2leq |Ax|^2|Bx|^2

Это – прямое следствие неравенства Коши-Буняковского.

Обратите внимание

Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределенности, впервые выведенная в 1930 г. Говард Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шредингером:

frac{1}{4} |langle(AB-BA)x|x
angle|^2leq|Ax|^2|Bx|^2.

Это неравенство называют отношением Робертсона-Шредингера.

Оператор AB–BA называют коммутатором A и B и обозначют как [A,B]. Он определен для тех x, для которых определены оба ABx и BAx.

Из отношения Робертсона-Шредингера немедленно следует отношение неопределенности Гейзенберга:

Предположим, A и B — две переменные состояния, которые связаны с самосопряженными (и что важно — симметричными) операторами. Если ABψ и BAψ определены, тогда:

Delta_{psi}A,Delta_{psi}Bgefrac{1}{2}left|leftlangleleft[A,{B}
ight] ight
angle_psi
ight|,

где:

leftlangle X
ight
angle_psi =leftlanglepsi|Xpsi
ight
angle

среднее значение оператора переменной X в состоянии ψ системы, и:

Delta_{psi}X=sqrt{langle{X}^2
angle_psi-langle{X}
angle_psi^2}

оператор стандартного отклонения переменной X в состоянии ψ системы

Приведенные выше определения среднего и стандартного отклонения формально определены исключительно в терминах теории операторов. Утверждение становится однако более значащим, как только мы заметим, что они являются фактически средним и стандартным отклонением измеренного распределения значений. См. квантовая статистическая механика.

То же самое может быть сделано не только для пары сопряженных операторов (например координаты и импульса, или продолжительности и энергии), но вообще для любой пары Эрмитовых операторов. Существует отношение неопределенности между напряженностью поля и числом частиц, которое приводит к явлению виртуальных частиц.

Возможно также существование двух некоммутирующих самосопряженных операторов A и B, которые имеют один и тот же собственный вектор ψ. В этом случае ψ представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A и B.

Общие наблюдаемые переменные, которые повинуются принципу неопределенности

Предыдущие математические результаты показывают, как найти отношения неопределенности между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A и B коммутатор которых имеет определенные аналитические свойства.

• самое известное отношение неопределенности — между координатой и импульсом частицы в пространстве:

Delta x_i Delta p_i geq frac{hbar}{2}Delta J_i Delta J_j geq frac {hbar} {2} left |leftlangle J_k
ight
angle
ight |

, где i, j, k отличны и Ji обозначает угловой момент вдоль оси xi.

• следующее отношение неопределенности между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, т.к. не существует оператора, представляющего время:

Delta E Delta t ge frac{hbar}{2}

Интерпретации

главная статья: Интерпретация квантовой механики

Альберту Эйнштейну принцип неопределенности не очень понравился, и он бросил вызов Нильсу Бору, и Вернеру Гейзенбергу известным мысленным экспериментом (См. дебаты Бор-Эйнштейн для подробной информации): заполним коробку радиоактивным материалом, который испускает радиацию случайным образом.

Коробка имеет открытый затвор, который немедленно после заполнения закрывается при помощи часов в определенный момент времени, позволяя уйти небольшому количеству радиации. Таким образом время уже точно известно. Мы все еще хотим точно измерить сопряженную переменную энергии.

Эйнштейн предложил сделать это, взвешивая коробку до и после. Эквивалентность между массой и энергией по специальной теории относительности позволит точно определить, сколько энергии осталось в коробке.

Бор возразил следующим образом: если энергия уйдет, тогда полегчавшая коробка сдвинется немного на весах. Это изменит положение часов.

Таким образом часы отклоняются от нашей неподвижной системы отсчета, и по специальной теории относительности, их измерение времени будет отличаться от нашего, приводя к некоторому неизбежному значению ошибки. Детальный анализ показывает, что неточность правильно дается соотношением Гейзенберга.

В пределах широко, но не универсально принятой Копенгагенской интерпретации квантовой механики, принцип неопределенности принят на элементарном уровне. Физическая вселенная существует не в детерминистичной форме, а скорее как набор вероятностей, или возможностей.

Например, картина (распределение вероятности) произведенная миллионами фотонов, дифрагирующими через щель может быть вычислена при помощи квантовой механики, но точный путь каждого фотона не может быть предсказана никаким известным методом.

Важно

Копенгагенская интерпретация считает, что это не может быть предсказано вообще никаким методом.

Именно эту интерпретацию Эйнштейн подвергал сомнению, когда говорил: «я не могу представить, чтобы Бог играл в кости со вселенной». Бор, который был одним из авторов Копенгагенской интерпретации, ответил: «Эйнштейн, не говорите Богу, что делать».

Эйнштейн был убежден, что эта интерпретация была ошибочной. Его рассуждение основывалось на том, что все уже известные распределения вероятности являлись результатом детерминированных событий.

Распределение подбрасываемой монеты или катящейся кости может быть описано распределением вероятности (50 % орел, 50 % решка). Но это не означает, что их физические движения непредсказуемы.

Обычная механика может вычислить точно, как каждая монета приземлится, если силы, действующие на неё будут известны, а орлы/решки будут все ещё распределяться вероятностно (при случайных начальных силах).

Эйнштейн предполагал, что существуют скрытые переменные в квантовой механике, которые лежат в основе наблюдаемых вероятностей.

Ни Эйнштейн, ни кто-либо ещё с тех пор не смог построить удовлетворительную теорию скрытых переменных, и неравенство Белла иллюстрирует некоторые очень тернистые пути в попытке сделать это.

Совет

Хотя поведение индивидуальной частицы случайно, оно также скоррелировано с поведением других частиц.

Поэтому, если принцип неопределенности – результат некоторого детерминированного процесса, то получается, что частицы на больших расстояниях должны немедленно передавать информацию друг другу, чтобы гарантировать корреляции в своем поведении.

Принцип неопределенности в популярной культуре

Принцип неопределенности часто неправильно понимается или приводится в популярной прессе. Одна частая неправильная формулировка в том, что наблюдение события изменяет само событие. Это может быть верным в некоторых случаях для некоторых событий, но это не имеет никакого отношения к принципу неопределенности в квантовой механике.

Другие (также вводящие в заблуждение) аналогии с макроскопическими эффектами были предложены для объяснения принципа неопределенности: одна из них рассматривает придавливание арбузной семечки пальцем. Эффект известен – нельзя предсказать, как быстро или куда семечка исчезнет. Этот случайный результат базируется полностью на хаотичности, которую можно объяснить в простых классических терминах.

В некоторых научно-фантастических рассказах, устройство для преодоления принципа неопределенности называют компенсатором Гейзенберга, наиболее известно он используется на звездолете Звёздный Путь на телепортаторе. Однако, не известно, что означает «преодоление принципа неопределенности».

Юмор

Необычная природа принципа неопределенности Гейзенберга и его запоминающееся название, сделали его источником нескольких шуток. Говорят, что популярной надписью на стенах физического факультета университетских городков является: «Здесь, возможно, был Гейзенберг».

В другой шутке о принципе неопределенности, квантового физика остановливает на шоссе полицейский и спрашивает: «Вы знаете, как быстро Вы ехали, сэр?». На что физик отвечает: «Нет, но я точно знаю, где я!»

См. также

• Квантовая неопределенность

Литература

Журнальные статьи

• W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Zeitschrift für Physik, 43 1927, pp 172-198. English translation: J. A. Wheeler and H. Zurek, Quantum Theory and Measurement Princeton Univ.

  Press, 1983, pp. 62-84.

• Л. И. Мандельштам, И. Е. Тамм „“, Изв. Акад. Наук СССР (сер. физ.) 9, 122-128 (1945).
• G. Folland, A.

  Sitaram, The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey, Journal of Fourier Analysis and Applications, 1997 pp 207-238.

Внешние ссылки

Категории:

• Физика
• Квантовая механика

Источник: http://mediaknowledge.ru/30a2b1f5e41d952e.html